TECNICAS
DE CONTEO
El principio fundamental en el proceso
de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos
de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de
conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1
maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras
diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos
pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a
n1 x n2.
Para facilitar el conteo examinaremos
tres técnicas:
* La
técnica de la multiplicación
* La técnica aditiva
* La técnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.
* La técnica aditiva
* La técnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.
PRINCIPIO
DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que
consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar
puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo
paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras
o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El
principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad
deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder
de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes,
y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras
diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el
evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x
N2 x ..........x Nr maneras o formas
PRINCIPIO
ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una
actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la
primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la
segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de
las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa
actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras
o formas
PRINCIPIO
DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse
de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la
otra pueden efectuarse de:
m+n maneras.
PRINCIPIO
DE PERMUTACION:
A diferencia de la formula de la
multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos
cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición
de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos
cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula
que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r)
PRINCIPIO DE COMBINACION:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n! r! (n – r)!
EJERCICIOS:
1.-¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de
10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio
fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste
ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8
personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los
tres premios.
N
10 x 9 x 8 = 720
10 x 9 x 8 = 720
2.-¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos
letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
3.- Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías
para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y
vuelta de C1 a C2.
Respuesta: (3)(4)=12
Respuesta: (3)(4)=12
4.-Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha
pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General
Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la
marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro
colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la
lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15
kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática
y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de
11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas
maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de
seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16
maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.
5.-Una pareja que se tiene que
casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de
la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento
Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un
californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le
ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico Residencial
Condominio Californiano
Provenzal
Económico Residencial
Condominio Californiano
Provenzal
m=2
n=3
2+3= 5 maneras.
6.- Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro
primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula de la permutación tenemos:
Aplicando la formula de la permutación tenemos:
n P r = n! (n - r)! = 15!
= 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
= 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!=
factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
7.-En una compañía se quiere establecer un
código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se
quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal
suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será
adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las
42 partes del producto.
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