Teorema de Bayes.
En la teoría de la
probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento
aleatorio A dado B en términos de la distribución de
probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginalde
sólo A.
En
términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme
relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad
de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza
dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la
probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este
sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en
todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la
probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Fórmula de Bayes
Con
base en la definición de Probabilidad
condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como
la Regla de Bayes:
Aplicaciones
El
teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la
probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades
que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten
probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación
empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten
probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo
debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos
información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está
demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento
subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función
de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer
conocimiento. Una aplicación de esto son losclasificadores
bayesianos que son
frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam,
que se adaptan con el uso.
y su
demostración resulta trivial.
EJERCICIOS.
EJEMPLO 5
En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes
son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas
tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un
infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24
meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la
probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es
importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la
característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos
condicionados.
a. En este caso, la población es de los
infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo
tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un
ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para
identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay
que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la
característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la
probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:
EJEMPLO 6
Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre
sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes
mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son
de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15%
implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un
paciente al azar, determine:
a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad
que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan
cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan
implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras
cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino
a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a
un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las
cirugías los condicionantes. Dicho valor será:
b. Como el
suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego,
el valor de la probabilidad será:
EJEMPLO 7
Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar
ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el
segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de
error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una
ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha
usado el primer aparato.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con
error
Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la
probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha
ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro
está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los
aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
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