Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
FENOMENO
DETERMINISTICO:
Es aquel que tiene una sola manera de ocurrir. Es aquel fenómeno cuya ocurrencia o no
ocurrencia es una certeza.
FENÓMENO
INDETERMINISTICO:
Es aquel fenómeno que tiene más de una forma de ocurrir y no se tiene la certeza de cual
manera es la que ocurrirá en un momento determinado.
EXPERIMENTO Es cualquier fenómeno indeterminístico.
ESPACIO MUESTRA: Es el conjunto de todos los resultados (maneras de ocurrir) posibles de un experimento. Se
denota con la letra S.
CARDINALIDAD DEL
ESPACIO MUESTRA:
Es el número de resultados posibles de un experimento.
EVENTO: Es cualquier subconjunto obtenido del espacio muestra.
EVENTO SIMPLE: Es cada uno de los posibles resultados de un experimento.
COMPLEMENTO DE
UN EVENTO:
Es la negación de un evento. Es el conjunto de resultados posibles que no están
considerados en un evento determinado.
INTERSECCIÓN DE
DOS EVENTOS:
Sean A y B dos eventos del espacio muestra S. Se define A∩B como el conjunto de
elementos que están en A y están en B. Es decir A∩B ={x | x ε A y x ε B}
UNIÓN DE DOS
EVENTOS:
Sean A y B dos eventos del espacio muestra S. Se define AUB como el conjunto de
elementos que están en A o están en B o están en ambos. Es decir AUB ={x | x ε A o x ε B o
x ε A∩B }
EVENTOS
EXCLUYENTES:
Son eventos que no tienen elementos en común. Es decir, A y B son excluyentes si y sólo si
A∩B = Ø.
EVENTOS
EXCLUYENTES Y
EXHAUSTIVOS:
Se dice que dos eventos son excluyentes y exhaustivos si al agrupar los dos eventos se tiene
la totalidad del espacio muestra. Es decir, A y B son dos eventos excluyentes y exhaustivos si
y sólo si A∩B = Ø y AUB = S
PRINCIPIO
MULTIPLICATIVO:
Si una operación se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada una de estas se puede llevar
a cabo una segunda operación en n2 formas, y si para cada una de las primeras dos formas
se puede realizar una tercera operación en n3 formas y así sucesivamente, entonces la serie
de k operaciones se puede realizar en n1n2,...,nk formas.
NOTACIÓN
FACTORIAL:
Dado un número entero n, se define el factorial de n como el producto de todos los enteros
consecutivos menores o iguales a n, es decir: n! = n(n-1) (n-2)···(3) (2) (1). En particular, se
define 1! = 1, y 0! = 1.
PERMUTACIONES: Es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. Es un conjunto de objetos
seleccionados en él cual el orden que guardan los elementos importa.
EJERCICIOS
Se lanza un dado.
1) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.
3) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}
4) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.
5) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.
6) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.
7: estudio con familias
En una investigación con familias, se definen los siguientes sucesos:H = la familia tiene hijos.R = la familia vive en sectores rurales.M = el jefe de familia es mujer.Escriba en forma algebraica los siguientes sucesos:
1.1. La familia no vive en sectores rurales.
1.2. La familia tiene hijos y vive en sectores rurales.
1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos.
1.4. La familia vive en sectores rurales o no tiene hijos.
1.5. La familia no tiene hijos y viveen sectores rurales.
1.6. El jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales.
1.7. La familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer.
1.1. La familia no vive en sectores rurales.
1.2. La familia tiene hijos y vive en sectores rurales.
1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos.
1.4. La familia vive en sectores rurales o no tiene hijos.
1.5. La familia no tiene hijos y viveen sectores rurales.
1.6. El jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales.
1.7. La familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer.
Solución:
1.1. Corresponde a la negación del suceso R.La familia no vive en sectores rurales= R’
1.2. Corresponde a una conjunción de los sucesos H y R.La familia tiene hijos y vive en sectores rurales = H y R
1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos = M y H’ También puede expresarse como M –H
1.4. Es una disyunción de dos sucesosLa familia vive en sectores rurales o no tiene hijos = R o H’ 1.5. La familia no tiene hijos y vive en sectores rurales = H’ y R.Aplicando las propiedades se puede expresar H’ y R = R y H’ = R –H.
1.6. Es un suceso condicionalEl jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales = M/R
1.7. Corresponde a un suceso condicionalLa familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer = H’/M.
1.2. Corresponde a una conjunción de los sucesos H y R.La familia tiene hijos y vive en sectores rurales = H y R
1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos = M y H’ También puede expresarse como M –H
1.4. Es una disyunción de dos sucesosLa familia vive en sectores rurales o no tiene hijos = R o H’ 1.5. La familia no tiene hijos y vive en sectores rurales = H’ y R.Aplicando las propiedades se puede expresar H’ y R = R y H’ = R –H.
1.6. Es un suceso condicionalEl jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales = M/R
1.7. Corresponde a un suceso condicionalLa familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer = H’/M.
8: deserción escolar
Se realiza un estudio sociológico con estudiantes de educación básica, y se definen lossiguientes sucesos:D = deserta del sistema escolar.A = ayuda económicamente en su hogar.H = tiene hermanos en su familia.Escriba en lenguaje corriente a qué corresponden los siguientes sucesos:
2.1. H’ =
2.2. D y A’ =
2.3.D/A =
2.4. D o H’ =
2.5. H –D =
2.6. H’/D =
2.2. D y A’ =
2.3.D/A =
2.4. D o H’ =
2.5. H –D =
2.6. H’/D =
Solución:
2.1. H’ = No tiene hermanos en su familia.
2.2. D y A’ = Deserta de sistema escolar y no ayuda económicamente en su hogar.
2.3. D/A = Deserta de sistema escolar dado que ayuda económicamente en su hogar.
2.4. D o H’ = Deserta de sistema escolar o no tiene hermanos en su familia.
2.5. H –D = Tiene hermanos en su familia, pero no deserta del sistema escolar.
2.6. H’/D = No tiene hermanos en su familia, dado que deserta del sistema escolar.
2.2. D y A’ = Deserta de sistema escolar y no ayuda económicamente en su hogar.
2.3. D/A = Deserta de sistema escolar dado que ayuda económicamente en su hogar.
2.4. D o H’ = Deserta de sistema escolar o no tiene hermanos en su familia.
2.5. H –D = Tiene hermanos en su familia, pero no deserta del sistema escolar.
2.6. H’/D = No tiene hermanos en su familia, dado que deserta del sistema escolar.
9)¿ En cuantas formas se pueden seleccionar un alemán un escoses y un dues, entre un grupo de 8 personas de cada nacionalidad ?
n(A)=8
n(E)=8 3[(8x7x6x5x4x3x2x1)(3)]= 120960.
n(D)=8
10) ¿En cuantas formas puede poner su mesa una ama de casa si tiene 5 manteles, 4 vajillas t 3 3 juegos de cuchileria?
n(M)=5
n(V)=4 (5)(4)(3)= 60.
n(C)=3
11) ¿En cuantas formas se puede designar los jardineros de un juego de beisbol si se dispone de 4 jardineros izquierdos, 5 centrales y 6 derechos?
n(I)= 4
n(C)= 5 (5)(4)(6)= 120
n(D)= 6
12)En cuantas formas un campesino puede ir al pueblo si tiene 3 y 8 caballos y se necesitan 2 caballos para tirar de un yuayin?
n(G)=3
N(C)=8 (7+6+5+4+3+2+1)(3)= 84
n(E)=8 3[(8x7x6x5x4x3x2x1)(3)]= 120960.
n(D)=8
10) ¿En cuantas formas puede poner su mesa una ama de casa si tiene 5 manteles, 4 vajillas t 3 3 juegos de cuchileria?
n(M)=5
n(V)=4 (5)(4)(3)= 60.
n(C)=3
11) ¿En cuantas formas se puede designar los jardineros de un juego de beisbol si se dispone de 4 jardineros izquierdos, 5 centrales y 6 derechos?
n(I)= 4
n(C)= 5 (5)(4)(6)= 120
n(D)= 6
12)En cuantas formas un campesino puede ir al pueblo si tiene 3 y 8 caballos y se necesitan 2 caballos para tirar de un yuayin?
n(G)=3
N(C)=8 (7+6+5+4+3+2+1)(3)= 84
13) Cuantos menús formados por una sopa, una carne, dos vegetales y un postre pueden servirse si se escoje entre cuatro sopas, seis vegetales, tres carnes y cinco postres.
n(S)=4
n(V)=6
n(C)=3 (4)(6)(3)(5)= 360 formas.
n(P)=5
14) Si dos dados se tiran simultáneamente ¿En cuantas formas puede caer ?
(6x6)= 36
15) Si 5 monedas se tiran simultáneamente ¿ En cuantas formas pueden caer?
n(M)= 5 (5)(5)(2)= 50
16) Un hombre posee 11 corbatas, 6 camisas,, 4 trajes, 8 pares de calcetines y 3 pares de zapatos ¿En cuantas formas puede vestirse para salir?
(11)(6)(4)(8)(3)= 6336 formas.
17) En cuantas formas puede vestirse una mujer que posee 4 sombreros, 9 vestidos, 13 pares de aretes y 7 zapatos.
(7)(13)(9)(4)= 3276 formas.
18). En una lista aparecen 5 libros de trigonometria, 6 de Historia y 3 de Química ¿En cuantas formas pueden escoger 3 libros siendo uno de cada materia?
n(T)=5
n(H)=6 (5)(6)(3)= 90 formas.
n(Q)=3
19) En cuantas formas puede sentarse alternadamente 5 hombres y 4 mujeres en una banca para 9 personas.
n(H)=5 (5x4x3x2x1)(4x3x2x1) = 2880
n(M)=4
20) El Alcande, 4 Banqueros, 2 directores y un orador van a sentarse en un lado de una mesa, debiendo ocupar los asientos centrales el alcalde y el orados y debiendo estar ala derecha del alcalde el orador ¿ Cuantos ordenamientos son posibles?
(6x5x4x3x2x1) = 720.
n(S)=4
n(V)=6
n(C)=3 (4)(6)(3)(5)= 360 formas.
n(P)=5
14) Si dos dados se tiran simultáneamente ¿En cuantas formas puede caer ?
(6x6)= 36
15) Si 5 monedas se tiran simultáneamente ¿ En cuantas formas pueden caer?
n(M)= 5 (5)(5)(2)= 50
16) Un hombre posee 11 corbatas, 6 camisas,, 4 trajes, 8 pares de calcetines y 3 pares de zapatos ¿En cuantas formas puede vestirse para salir?
(11)(6)(4)(8)(3)= 6336 formas.
17) En cuantas formas puede vestirse una mujer que posee 4 sombreros, 9 vestidos, 13 pares de aretes y 7 zapatos.
(7)(13)(9)(4)= 3276 formas.
18). En una lista aparecen 5 libros de trigonometria, 6 de Historia y 3 de Química ¿En cuantas formas pueden escoger 3 libros siendo uno de cada materia?
n(T)=5
n(H)=6 (5)(6)(3)= 90 formas.
n(Q)=3
19) En cuantas formas puede sentarse alternadamente 5 hombres y 4 mujeres en una banca para 9 personas.
n(H)=5 (5x4x3x2x1)(4x3x2x1) = 2880
n(M)=4
20) El Alcande, 4 Banqueros, 2 directores y un orador van a sentarse en un lado de una mesa, debiendo ocupar los asientos centrales el alcalde y el orados y debiendo estar ala derecha del alcalde el orador ¿ Cuantos ordenamientos son posibles?
(6x5x4x3x2x1) = 720.
B, que se lee: A intersección B. La
intersección de A y B también se puede definir:
