BLOQUE 3 Probabilidad Condicional.

PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. Apuede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Dado un espacio de probabilidad  y dos eventos (o sucesos)con, la probabilidad condicional de A dado Bestá definida como:

Interpretación

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,  sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

EJERCICIOS:

1.-Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

1. La primera semilla sea roja?
2. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:  
 
b) La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por , y se lee: la probabilidad de B₂ dado R₁.Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

Veamos la situación en un diagrama de árbol:

2.-Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y 
De donde 


EJERCICIOS.

1.- La probabilidad de que una persona entre conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la probabilidad de que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es de 0.08. 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad o sin licencia?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad? 

P(EV) = 0.35 ; P( SL ) = 0.15 = P(EV ∩ SL ) = 0.08
P(EV U SL ) = 0.35 + 0.15 – 0.08 = 0.42
P(SL | EV) = 0.08/0.35 = 0.2286

2.-Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y 

De donde. 

3.- Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.

Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2

hay 8 esferas blancas en un total de 12.

Ahora bien, tenemos:

5.- Se lanza un dado tantas veces como sea necesario hasta que aparezca un tres. Si suponemos que el tres no aparece en la primera lanzada

(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten más de cuatro lanzadas?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda en la tercera lanzada?

Solución.

(a) Definimos los eventos:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que en las primeras cuatro lanzadas no sale tres.

p(B|A) es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzadas para que aparezca tres

si en la primera no sale tres. Debemos calcular  p(B ∩ A) y p(A). Puesto que B ∩ A = B

¿Porque? entonces p(B ∩A) = p(B) = (5)^4/ (6)^4 y p(A) = 5/6. Así 

p(B|A) = (5)^3/ (6)^3

(b) Los eventos son:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que el tres sale en la tercera lanzada y no antes.

p(B|A) indica la probabilidad de que el tres aparece por primera vez en la tercera lanzada

sabiendo que no salió en la primera. A ∩ B = B Puesto que si tres sale por primera vez en

la tercera lanzada entonces la primera lanzada no es tres. p(B) = (5)^2/ (6)^3 y p(A) =5/6

p(B|A) = 5/ (6)^2

6.- La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a tiempo es de 0.40. 

Calcule la probabilidad de que el avión: 

a) Llegue a Houston dado que no llegó a tiempo a Denver; 

b) Llegue a Houston dado que llegó a Tiempo a Denver. 

P(D ) = 0.30; P(H) = 0.40; P(H’ ∩ D’ ) = 0.40 

P(H | D’) = 0.30/0.70 = 0.4286 

P(H | D) = 0.10/0.30 = 0.3333 

7.-La probabilidad de que una persona posea un teléfono celular es de 0.35, la probabilidad de que sea un profesionista es de 0.25 y la probabilidad de que ya sea profesionista o posea un teléfono celular es de 0.50. 

Encuentre la probabilidad de que una persona:

a) Posea un teléfono celular y sea profesionista; 

b) Sea profesionista dado que no posee un teléfono celular; 

c) Posea un teléfono celular dado que es profesionista. 

P(CE) = 0.35; P(PF) = 0.25 P(PF U CE) = 0.50 

P(CE ∩ PF) = 0.35 + 0.25 – 0.50 = 0.10. 

P(PF | CE’) = 0.25/0.65 = 0.3846 

P(CE | PF) = 0.10/0.25 = 0.40

15.-Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos  

= "la suma de los puntos es siete" y = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso    salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas

  y 

16.-Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes.

Definimos A₁ = {la 1ª bola es azul}; A₂ = {la 2ª bola es verde}; A₃ = {la 3ª bola es verde}
p(A₁) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes.
p(A₂|A₁) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes.
p(A₃|A₁ Ç A₂) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.

p(A1 Ç A2 Ç A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18

17.-Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?

A₁ = {problemas vasculares}; 

A₂ = {placas de ateroma}; 

A₃ = {expuesto a muerte súbita por ....} 

p(A₁) = 0,001; p(A₂|A₁) = 0,20; p(A₃|A₁ Ç A₂) = 0,1 

p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002 

18.-Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?

A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}
A Ç B = {ser hipertenso y fumador} 

p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20

19.-Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad? Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} 

el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad 

p(A) = 1/4 = 0,25

La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY}
la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior

p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5

20.-Se lanza un dado tantas veces como sea necesario hasta que aparezca un tres. Si suponemos que el tres no aparece en la primera lanzada

(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten más de cuatro lanzadas?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda en la tercera lanzada?

Solución.

(a) Definimos los eventos:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que en las primeras cuatro lanzadas no sale tres.

p(B|A) es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzadas para que aparezca tres

si en la primera no sale tres. Debemos calcular  p(B ∩ A) y p(A). Puesto que B ∩ A = B

¿Porque? entonces p(B ∩A) = p(B) = (5)^4/ (6)^4 y p(A) = 5/6. Así

p(B|A) = (5)^3/ (6)^3

(b) Los eventos son:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que el tres sale en la tercera lanzada y no antes.

p(B|A) indica la probabilidad de que el tres aparece por primera vez en la tercera lanzada

sabiendo que no salió en la primera. A ∩ B = B Puesto que si tres sale por primera vez en

la tercera lanzada entonces la primera lanzada no es tres. p(B) = (5)^2/ (6)^3 y p(A) =5/6

p(B|A) = 5/ (6)^2