BLOQUE 2 Eventos Mutuamente Excluyentes Y No Excluyentes Entre Si

Eventos Mutuamente Excluyentes Y No Excluyentes Entre Si

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). 

P(A) + P(A´) = 1 

Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes. 

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultanea. 

Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco. 

Reglas de la Adición 

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: 

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes 

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B 

Eventos Independientes: Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. 

Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento. 

EJERCICIOS.

1.-Considere los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p, los eventos A y B son independientes?

Solución:

Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes entonces P(A⋂B) = 0
P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) ..... probabilidad de la unión.
Sustituyendo los valores tenemos:
0.7 = 0.4 + P - 0 ⇨ P = 0.3
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes P = 0.3.

Para que los sucesos Ay B sean independientes entonces P(A⋂B) = P(A)P(B)
P(A⋂B) = P(A)P(B) ..... condición de eventos independientes.
Sustituyendo los valores tenemos:
P(A⋂B) = 0.4*P ⇨ P = P(A⋂B) / 0.4
La relación anterior se cumple con la única condición que P(A⋂B) ≠ 0 (no excluyentes).
Para que los sucesos A y B sean independientes P = P(A⋂B) / 0.4 con P(A⋂B) ≠ 0

2.

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3.- 

4.-

5.- En el caso de los eventos E y F, tenemos que E={1,5}, F={4,6,1} y la intersección de los dos eventos es EF={1}, de donde:

P{E}=2/6=1/3

P{F}=3/6=1/2

P{EF}=1/6

P{E}P{F}=(1/3)(1/2)=1/6=P{EF}

Así, los eventos E y F son independientes ya que el producto de sus probabilidades es igual a la probabilidad de su intersección. Resumiendo, ésta es precisamente la definición de eventos independientes.

Definición: dos eventos E y F son independientes cuando P{E}P{F}=P{EF}.

6.- Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3

Canicas azules: 3

Canicas verdes: 4

Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja

7.- En una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.

Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.

P(AyB)=P(A) * P(B)

=13/52 * 13/52

=169/2704

8.- En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.

Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100

9.- Dos sucesos A y B dependientes y compatibles:

En una baraja de 52 cartas, sacar dos cartas y que la primera sea el as de trébol y la segunda un trébol. Son compatibles porque tienen un suceso en común: el trébol. Son dependientes, porque al realizarse el primer suceso (sacar el as de trébol) se modifica el segundo suceso, ya que no quedan 13 tréboles sino 12.
La probabilidad sería: 1/52 * 12/51

10.- Si un jugador apuesta en la casilla «Field» de la mesa de craps, entonces puede ganar el premio si en el lanzamiento de los dos dados la sumatoria de los puntos de ambos dados es 2 ó 3 ó 4 ó 9 ó 10 ó 11 ó 12, resultados que son mutuamente excluyentes entre sí porque los dos dados en un solo lanzamiento sólo suman un valor determinado y no suman dos o más valores a la vez. Si identificamos a los siete resultados de los dos dados que favorecen al jugador (2, 3, 4, 9, 10, 11, 12) con una letra específica respectivamente (A, B, C, D, E, F, G), entonces la probabilidad de ganar por apostarle a la casilla Field de la mesa de craps se calcula como P(A,B,C,D,E,F,G). En este caso hay que tener en cuenta que la probabilidad de obtener un puntaje 2 en los dos dados es 1/36 (evento A), la probabilidad de obtener un puntaje 3 en los dos dados es de 2/36 (evento B), la probabilidad de obtener un puntaje 4 en los dos dados es de 3/36 (evento C), la probabilidad de obtener un puntaje 9 en los dos dados es de 4/36 (evento D), la probabilidad de obtener un puntaje 10 en los dos dados es de 3/36 (evento E), la probabilidad de obtener un puntaje 11 en los dos dados es de 2/36 (evento F), y la probabilidad de obtener un puntaje 12 en los dos dados es de 1/36 (evento G), por tanto la solución es la siguiente: P(A,B,C,D,E,F,G) = P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)+P(F)+P(G) = 1/36+2/36+3/36+4/36+3/36+2/36+1/36 = 16/36, o lo que es lo mismo, el jugador al apostarle a la casilla Field en la mesa de craps tiene a su favor 16 combinaciones entre los puntos de los dos dados sobre 36 combinaciones posibles que pueden aparecer en un solo lanzamiento.

11.- Si un solo dado es lanzado al aire y el jugador puede ganar si obtiene el punto 1 o si obtiene el punto 6, entonces en tal caso estamos hablando de dos sucesos que son «mutuamente excluyentes entre sí», porque en un solo lanzamiento del dado no pueden aparecer los dos eventos al mismo tiempo (o cae 1, o cae 6, o cae cualquier otro resultado del dado). Por consiguiente, si el jugador quiere calcular la probabilidad de ganar en el lanzamiento del dado puede asumir que el evento A es la aparición del punto 1 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, mientras que el evento B es la aparición del punto 6 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, y por lo tanto la probabilidad de ganar se calcula mediante la sumatoria ya indicada: P(A,B) = P(A)+P(B) = 1/6+1/6 = 2/6, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar en el lanzamiento del dado tiene 2 eventos a su favor sobre 6 eventos posibles.

12.- Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.

Cual es la probabilidad de:

A sale un papel azul o

B sale un papel rojo

P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)

=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)

=10/50 + 15/50

=25/50

=1/2

13.- Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja
1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

14.- Eventos de un espacio muestral son excluyentes si su intersección es el vacío y no son excluyentes si su intersección es distinta del vacío, es decir, si tienen elementos en común. 

Por ejemplo, sea el experimento: se lanza un dado.
Definamos el evento E1 como E1=Sale el numero dos. Y el evento E2 como E2=Sale un numero par. Por lo tanto,
E1={ 2 } y E2={ 2, 4, 6 }
Como E1 interseccion E2 = { 2 } que es distinto del conjunto vació  concluimos que E1 y E2 son eventos NO excluyentes.
Si definimos E3=Sale un numero impar, entonces
E2 interseccion E3 = el conjunto vacio, pues no hay ningun numero que pueda estar en E1 y en E3 (i.e. que pueda ser par e impar al mismo tiempo). Por lo tanto E2 y E3 son eventos excluyentes.
Y asi te construyes mas ejemplos de experimentos, y defines eventos en el espacio muestral tales que su intersección sea no vacía.